La loxodromie de la sphère de rayon R est une courbe qui fait un angle constant α avec les parallèles.
Si θ est la longitude et λ la latitude, c'est donc la courbe telle que :
dθ / dλ = K.cos (λ) avec K = tan( α ).

On montre que ses équations en coordonnées cylindrique sont :
ρ = R / cosh( k.θ ) et z = R.tanh( k.θ ) .

On en déduit que ses équations paramétriques sont :
x = R.cos( t ) / cosh( K.t )
y = R.sin ( t ) / cosh( K.t )
z = R.tanh ( K.t )

Si on effectue une projection stéréographique de la trajectoire loxodromique sur un plan équatorial à partir du pôle Nord, on obtient une spirale logarithmique. En effet la projection stéréographique conserve les angles : les méridiens se transforment en rayons et l'angle entre le rayon vecteur et la tangente à la trajectoire reste égal à α.

Faire θ = 0 et φ = 0 en traçant l'équateur pour visualiser l'angle α