Pour l'étude d'un circuit RLC série en régime permanent sinusoïdal, l'outil le mieux adapté est l'impédance complexe Z* ou son inverse l'admittance complexe Y*.
On rappelle que U* = Z*.I* et U*.Y* = I*.

Impédance complexe.
Circuit RL : Dans ce cas Z* = R + jLω
Le graphe de Z* dans le plan complexe comporte la droite 0, R de l'axe réel et la droite + Lω parallèle à l'axe imaginaire. Quand on fait varier ω entre 0 et l'infini, on parcourt la droite (R, 0) (R, ∞). Le courant est en retard sur la tension.
Circuit RC : Dans ce cas Z* = R +1 / jCω
Le graphe de Z* dans le plan complexe comporte la droite 0, R de l'axe réel et la droite −1 / jCω parallèle à l'axe imaginaire. Quand on fait varier ω entre 0 et l'infini, on parcourt la droite (R, 0) (R, −∞). Le courant est en avance sur la tension.
Circuit RLC série. Z* = R + j(Lω − 1 / Cω)
Le graphe de Z* dans le plan complexe comporte la droite 0, R de l'axe réel et la droite (Lω−1 / jCω) parallèle à l'axe imaginaire. Quand on fait varier ω entre 0 et l'infini, on parcourt la droite (R, ∞) (R, −∞).
Pour la pulsation ω₀ (ω²₀= 1 / LC) Il y a compensation des effets inductifs et capacitifs : La valeur de l'impédance est minimale et égale à R. Il y a résonance.
Les traits en pointillés correspondent aux valeurs de Lω − 1 / Cω = ± R

Admittance complexe.
On pose Y* = ℜ(ω) + ℑ(ω). L'intensité est égale à U*.Y*.

On constate que ℜ(ω) présente un maxima (1 / R) pour ω = ω₀ .
Résonance :
ℑ(ω) est nul pour ω = ω₀. Y = Y* = 1 / R

Bande passante :
On peut considérer le circuit RLC série comme un filtre passe bande.
Par définition les limites de la bande passante sont données par les valeurs de ω pour lesquelles le gain maximum est divisé par √2. Comme ℜ(ω) = R ceci se produit si ℑ(ω) = ± R.
Vérifier que :

ℑ(ω) présente un maxima (1 / R) pour ω = ω₁ et un minima (−1 / R) pour ω = ω₂.
Noter que pour ces valeurs, le déphasage vaut ± π / 4.

Ensemble des points M d'affixe Y*(ω)
On peut écrire que ℜ(ω) = R / (R² + X²) et que ℑ(ω) = − X / (R² + X²).
On tire X = −R.ℑ(ω) / ℜ(ω) puis ℜ²(ω) + ℑ²(ω) = ℜ(ω) / R
Soit ( ℜ(ω) − 1 / 2R) ² + ℑ²(ω) = 1 / 4R².
Quand ω varie entre 0 et l'infini, M décrit le cercle de centre (1 / 2R, 0) et de rayon 1 / 2R

Utilisation

Utiliser les listes pour modifier les valeurs de L et de C.
Utiliser le slider pour faire varier la fréquence dans le circuit.
Les courbes d'admittance sont tracées en coordonnées réduites ω / ω₀.
Le programme affiche les valeurs de ω₀ , ω₁ et ω₂