Ensemble de Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points du plan complexe d'affixes
C = R + i.I
tels que la suite des nombres Z_n avec Z₀ = 0 et
Z_n+1 = Z_n.Z_n + C
ne diverge pas quand n tend vers l'infini.

Dans la représentation discrète, on attribue la couleur blanche aux pixels appartenant à l'ensemble et la couleur noire aux autres.
C'est la représentation classique de l'ensemble.

Comme la convergence vers une valeur finie peut être longue à se révéler, on définit une profondeur d'analyse maximale P. Si N est le nombre  d'itérations effectuées avant que la divergence soit constatée ou que la valeur P soit atteinte, la couleur attribuée au pixel est proportionnelle au rapport N/P.
noir si N / P = 0 et
blanc si N / P = 1.
La théorie des nombres complexes montre que si le module de z_n dépasse 2 alors z_n tendra vers l'infini. Ce résultat permet de simplifier la programmation de la représentation de l'ensemble de Mandelbrot.

Il est aussi possible d'attribuer au pixel une couleur arbitraire fonction du nombre d'itérations effectuées avant sortie de la boucle ou l'on constate la divergence.

---

Utilisation :
L'ensemble est étudié initialement dans le domaine :
−2,0 < X < 0,5 et −1,25 < Y < 1,25 .
La résolution est de 500 * 500 pixels (250 000 points calculés pour chaque tracé).
La zone de texte permet de choisir la profondeur d'analyse.
Quand le tracé est terminé il est possible de faire un zoom sur une partie de l'ensemble.
Placer le pointeur sur le coin origine, cliquer puis glisser la souris. On trace en rouge une marquise de sélection. Le relâchement du bouton de la souris lance le tracé de la partie de l'ensemble ainsi sélectionnée. Pour conserver les proportions, le rectangle de sélection est converti en un carré dont le côté est égal à la plus grande dimension du rectangle.
Il n'est pas possible de faire des zooms successifs : il faut cliquer sur le bouton [RaZ zoom] pour revenir aux dimensions initiales avant de pouvoir faire un nouveau zoom.
Il est intéressant de zoomer sur de très petites zones au voisinage de la frontière de l'ensemble. On peut ainsi mettre en évidence l'homothétie interne de cet ensemble fractal.

En cliquant sur un point du graphe en pressant la touche [Ctrl] on affiche les coordonnées du pointeur dans le plan complexe. Cette possibilité permet de déterminer les valeurs "intéressantes" de la constante C dans le programme sur les ensembles de Julia et de choisir des zones de la frontière à examiner avec le programme d'étude des détails de l'ensemble de Mandelbrot.

Remarque : Pour la version initiale (1988) de ce programme écrite en Turbo-Pascal tournant sur une machine avec un 8086 cadencé à 5 MHz il fallait plusieurs heures pour effectuer un tracé avec une profondeur de 200 !